sábado, 18 de octubre de 2014

UNIDAD 2: FUNCIONES

2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCIÓN, DOMINO, CODOMINIO, Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.

 VARIABLE
es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula o algoritmo o de una proposición. El término «variable» se utiliza aun fuera del ámbito matemático para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números especificado.
ver mas en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)

 FUNCIÓN 
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen. "x" es la variable independiente,"y" es la variable dependiente.

 ver mas en:
http://www.vitutor.com/fun/1/a_6.html

 DOMINIO 
el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función f \colon X \to Y \, es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota \operatorname{Dom}_f\,  o bien  D_f\,. En \R^n se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.
ver mas en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3n

 CODOMINIO 
el codominio o contradominio (también denominado conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función f \colon X \to Y \, es el conjunto Y\, que participa en esa función, y se denota \operatorname{Cod}_f\, o C_f\, o \rm{codom}(f)\,.
ver mas en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Codominio

 RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN 
Llamado también imagen, codominio o rango es el conjunto de valores que toma la variable dependiente (y).
ver mas en:
http://cursosgratis.aulafacil.com/funciones-matematicas/curso/Lecc-10.htm

 2.2 FUNCION INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA.

FUNCIÓN INYECTIVA 
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es inyectiva, cuando cada elemento de la imagen de f lo es, a lo sumo, de un elemento de A. Suele decirse también que la función es uno-a-uno. f es 1-1 o Inyectiva  si sus pre imágenes son únicas, es decir  Si x ≠ y  entonces f(x) ≠ f(y)

 FUNCION SUPRAYECTIVA 
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es suprayectiva, sobreyectiva o exhaustiva, cuando cada elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. En otras palabras, f es sobreyectiva si la imagen de f es todo el conjunto B, es decir si Img (f) = B.

 FUNCION BIYECTIVA 
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es biyectiva, cuando es, a un tiempo, inyectiva y suprayectiva.

 http://matematicasparacomputadora.weebly.com/-54-funciones-inyectiva-suprayectiva-biyectiva.html

2.3 FUNCION REAL DE VARIABLE REAL  Y SU PRESENTACION GRAFICA
Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.
f : D  f  R
   x   f   f(x) = y
El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
ver mas en:
http://www.vitutor.com/fun/2/a_r.html


imagen sacada de:
http://mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionRealDeVariableRealYSuRepresentacionGr%E1fica


2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS: FUNCIÓN POLINOMIAL, RACIONAL E IRRACIONAL.

FUNCION POLINOMIAL 
Una función polinómica es aquella que está definida por un polinomio:

definicion
donde   a0, a1 ... an-1, an   son números reales que se llaman coeficientes del polinomio y   n   es el grado del polinomio.

Las características generales de las funciones polinómicas son las siguientes:
1) El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).
2) Son siempre continuas.
3) No tienen asíntotas.
4) Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.
5) Cortan el eje Y en el punto (0, a0).
6) El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno.
7) El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos dos.

Funciones polinómicas de segundo grado:    parábolas
grado_2
ver mas en:
http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementales/teoria/polinomicas.html

 FUNCION RACIONAL 
Una función es racional si es el cociente de dos polinomios:
definicion
siendo el grado del polinomio   Q(x)   distinto de 0.

Las características generales de las funciones racionales son:

1) El dominio de las funciones racionales son los números reales menos las raíces del denominador, es decir:

     dominio funcion racional

2) Son discontinuas en los valores de   x   que son raíces del denominador.

3) Tienen asíntotas verticales en cada raíz del denominador que no lo sea del numerador, y pueden tener asíntotas horizontales y oblicuas.

ver mas en:
http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementales/teoria/racionales.html

 FUNCIÓN IRRACIONAL
Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical.

ver mas en:
 http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_algebraica

2.5  FUNCIONES TRASCENDENTES: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES EXPONENCIALES.

FUNCIONES TRASCENDENTES
 En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

 FUNCIÓN EXPONENCIAL 
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
ver mas en:
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html
2.6 FUNCIÓN DEFINIDA POR MAS DE UNA REGLA  DE CORRESPONDENCIA. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

 FUNCIÓN DEFINIDA POR MAS DE UNA CORRESPONDENCIA 
Función a trozos es un nombre más general para una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.
Una función f: X → Y es llamada una función a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales.
Podemos decir que tal función está definida en una serie de intervalos múltiples.
La notación general para definir una función a trozos es la siguiente,
Como se muestra en el ejemplo, punto y coma ó comas se utilizan al final de la columna.
Sin embargo, algunos los autores prefieren usar palabras como “si” o “para” en la columna derecha, y la palabra “ de lo contrario” también se puede utilizar para indicar el caso por defecto.
La gráfica de esta función también se divide en trozos, dependiendo del número de ecuaciones que se utilicen para definir la función.
Tal función es llamada de esta forma porque la definición de esta función cambia dependiendo del valor de la variable de entrada.
Aquí el uso de la palabra “a trozos” se hace para describir la propiedad de esa función, que es válida para una ecuación / pieza de la función pero no en todo el dominio de la función.
La función a trozos tiene una serie de funciones en su cuerpo, el dominio de cada una de ellas se define por separado. El gráfico del ejemplo dado previamente luciría de esta forma,
Es claro que el gráfico anterior contiene dos piezas separadas para indicar dos ecuaciones diferentes, por lo tanto representa la función como un todo.
Un caso especial de la función a trozos es la función piso que tiene un número infinito de piezas.
ver mas en:
 http://mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionDefinidaPorMasDeUnaReglaDeCorrespondencia#sthash.ORrnaqZ9.dpuf
 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. 
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 

4. Representamos la función resultante.

ver mas en:

2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES: ADICIÓN,MULTIPLICACIÓN, 
COMPOSICIÓN.

Suma de funciones
Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

                                          

Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

                                          

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

                                          

Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

                                                

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

                                             

 Ejemplo:

Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

· La función f + g se define como
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

· (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7
(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18
(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

ver mas en:
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funoper.htm}

2.8 FUNCIÓN INVERSA. FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES
 TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.
FUNCIÓN INVERSA
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.Se despeja la variable x en función de la variable y.
3.Se intercambian las variables.
Ejemplos
Calcular la función inversa de:
1. función
operaciones
operaciones
operaciones
operaciones
ver mas en:
http://www.vitutor.com/fun/2/a_5.html
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Una función logarítmica f: X → y es una función de la forma, 
Aquí b es usualmente un número real mayor que uno. Sin embargo solo necesita ser mayor de cero, y nunca debe ser igual a uno.
Tal función es definida para todos los valores de x mayores que cero.
Las funciones logarítmicas se abrevian como funciones log y estas funciones son las funciones inversas de las funciones exponenciales.
Tales funciones generalmente poseen una asíntota vertical en vez de una horizontal por el motivo de ser las inversas de la función exponencial.
También siendo las funciones inversas de las funciones exponenciales, su dominio es limitado.
Las funciones logarítmicas fueron introducidas más tarde debido a que se enfrentaron a problemas para encontrar las funciones inversas de las funciones exponenciales.
Observe el ejemplo siguiente,
x = 10y, para encontrar la inversa reemplace x e y para obtener,
y = 10x
Como podemos observar no es posible resolver la ecuación anterior, entonces es ahí donde entra el uso de las funciones logarítmicas.
Por tanto la ecuación se convertirá en, 
La cual puede ser resuelta utilizando la tabla log.

http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionInversaFuncionLogaritmicaFuncionesTrigonometricasInversas#sthash.b7LRGiSa.dpuf

FUNCION TRIGONOMETRICA INVERSA
Las funciones inversas de las funciones trigonométricas se llaman funciones trigonométricas inversas o funciones ciclométricas.
Estas son el general funciones con múltiples valores.
La afirmación anterior puede entenderse mejor con la ayuda de un ejemplo.
Supongamos que z tiene muchos valores.
Ahora la ecuación, Z=sen W
Por lo que no puede existir un valor único de la inversa de esta ecuación hasta que tengamos un valor principal definido para w.
Estas funciones no satisfacen la definición de función inversa, ya que su rango es subconjunto del dominio de las funciones trigonométricas.
Las funciones trigonométricas inversas se enumeran a continuación junto con sus notaciones alternativas.
1. sin−1 z arcsin z
2. cos−1 z arcos z
3. tan−1 z acrtan z
4. sec−1 z arcsec z
5. cosec−1 z acrcosec z
6. cot−1 z arccot z

ver mas en:


2.9 FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUMEROS NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUMEROS REALES: LAS SUCESIONES INF.

Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido está incluido en el conjunto de los números reales.
En símbolos:
                s: lN  ®  lR  /  " n Î lN: s(n) = an 
Es decir que:
- a1 es la imagen del número natural 1 por medio de la sucesión
               1  ®  s(1) = a1 
- a2 es la imagen del número natural 2 por medio de la sucesión
               2  ®  s(2) = a2
                   3  ®  s(3) = a3

De acuerdo con esta definición, cada elemento de una sucesión puede representarse como un par ordenado (n, s(n)) o bien (n, an). Por consiguiente, toda sucesión puede representarse gráficamente mediante un diagrama cartesiano.

ver mas en:

Considere un conjunto N, una función f: X  Y de la secuencia de números de N esta es conocida como función de sucesiones. El dominio de tales funciones se limita sólo a los números naturales. Las convenciones utilizadas para referirse a tales secuencias son,
  o

  o
La notación convenida para denotar una función de este tipo sería,
Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de elementos distintos que pueden ser formados como pares teniendo correspondencia uno a uno respecto al conjunto entero positivo. Los elementos son por lo general números. Un conjunto de números naturales es un buen ejemplo de sucesión infinita, N = {0, 1, 2, 3, 4…}.
En términos de la notación matemática, una secuencia puede ser definida como una función sobre F U {0} ya que la función g (x) tiene una asociación uno a uno de F en F U {0}.
La secuencia infinita forma una parte importante de los estudios de la ingeniería y la física moderna. Una secuencia infinita puede estar creciendo, decreciendo, o ser de origen monótona. Una sucesión creciente es aquella donde todos los elementos subsecuentes de la secuencia son mayores que el elemento que estaba ocurriendo antes que ellos en la secuencia, esto es an+1 > an para todos los valores de n.

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2.10 FUNCIÓN IMPLÍCITA.

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de \mathbb{R}^2 entre las variables x e y:
y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,


En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0
ver mas en:
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_implicita.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impl%C3%ADcita



















































































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domingo, 5 de octubre de 2014

UNIDAD 1 CALCULO DIFERENCIAL









1.1  "LOS NÚMEROS REALES"

 En las matemáticas se utiliza la letra "\mathbb{R}" para nombrar a los números reales que incluye a los números racionales (positivos,negativo y el cero). Y también los números irracionales y en otro enfoque trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes no se pueden expresar mediante una fracción de 2 enteros con denominador nulo; tienen infinitas cifras, decimales a periódicas tales como \sqrt{5}, \pi.



 http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

1.2 "LA RECTA NUMÉRICA"

 La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul.

 http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_num%C3%A9rica
1.3 "PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES"

Propiedad Conmutativa de la Suma: Establece que el orden en el que dos números reales se suman no afecta a su sumatoria. Esto es,
Ejemplo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10.
Propiedad Conmutativa de la Multiplicación: De acuerdo con esta, cuando dos números reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo. En términos matemáticos,
Ejemplo: 4 X 3 = 3 X 4 = 12
Propiedad Asociativa de la Suma: Esta propiedad dice que la suma de tres números reales dados, manteniendo su orden, agrupa dos de ellos, y luego se añade el tercer número a la sumatoria del grupo. Matemáticamente,
Ejemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
Propiedad Asociativa de la Multiplicación: El producto de dos números reales se puede calcular de dos formas: De la primera forma, preservando el orden y multiplicando el número del producto del primer y segundo número al tercer número. La segunda forma de hacerlo es preservando el mismo orden y multiplicando el primer número con el producto del segundo y tercer número. El resultado en ambos casos será el mismo. Para ser específicos,
Ejemplo: (2 X 3) X 4 = 2 X (3 X 4) = 24
Propiedad de Identidad de la Suma: ‘0’es el número neutral, es decir, la identidad para la suma. La suma de cualquier número con 0 dará como resultado el propio número. Expresamente,
Ejemplo: 9 + 0 = 9
Propiedad de Identidad de la Multiplicación: Según esta propiedad de los Números Reales, el producto de cualquier número real con el elemento de identidad ‘1’ es el número real mismo. Es decir, 
Ejemplo: 6 X 1 = 6
Inverso aditivo: Para cada Número Real, existe su inverso, de tal manera que la suma del número con su inverso dará como resultado 0, es decir,
Ejemplo: 3 + (−3) = 0
Inverso multiplicativo: De acuerdo con este, para todo Número Real distinto de cero, existe otro número real tal que el producto de los dos es 1. Matemáticamente,
Ejemplo: 3 X 1/3 = 1
Ley distributiva: En los Números Reales, la multiplicación se puede distribuir sobre la suma y viceversa.
Ejemplo: 2 X (3 + 5) = (2 X 3) + (2 X 5) = 16

http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosNumerosReales

 1.4 INTERVALOS Y SU REPRESENTACION  MEDIANTE DESIGUALDADES













http://es.slideshare.net/Janneth_Galindo/desigualdades-e-inecuaciones-7064456

 1.5 " RESOLUCION DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Y DE DESIGUALDADES"



"TEORIA DE LOS CONJUNTOS"

 La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
  • Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
  • Intersección. La interseccion de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
  • Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
  • Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos

 1.6 "VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES"
El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica.
El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido también como el módulo del número.
El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.


Las propiedades fundamentales del valor absoluto son:

No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.
Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.
| x | = 0 x = 0

Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.
| xy| = | x | | y |

Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números.
| x + y| = | x | + | y |

En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las propiedades más importantes son:

Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo.
| - x | = x

Identidad de Indiscernibles: Equivalente de la definición positiva, establece que si el módulo de la resta de dos números es 0, entonces los dos números son iguales en su valor.
| x – y | x = y

Desigualdad Triangular: Puede ser expresada en la forma: | x – y | | x – z | + | z - x |.

Preservación de la División: Es el equivalente de la propiedad multiplicativa y establece que el módulo de la división de dos números es siempre igual a la división del módulo de los dos números por separado.
| x / y| = | x | / | y | si y 0

 http://mitecnologico.com/igestion/Main/ValorAbsolutoYSusPropiedades

 1.7 " RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO"





















































































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