domingo, 30 de noviembre de 2014

UNIDAD 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO, CURVAS ORTOGONALES

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.
Sea \scriptstyle \mathcal{C} una curva, y \scriptstyle A un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en \scriptstyle A la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a \scriptstyle \mathcal{C} en \scriptstyle A es la recta \scriptstyle T_A que pasa por \scriptstyle A y que tiene la misma dirección que \scriptstyle \mathcal{C} alrededor de \scriptstyle A.
La tangente es la posición límite de la recta secante (\scriptstyle \overline{AM}) (el segmento \scriptstyle \overline{AM} se llama cuerda de la curva), cuando \scriptstyle M es un punto de \scriptstyle \mathcal{C} que se aproxima indefinidamente al punto \scriptstyle A (\scriptstyle M se desplaza sucesivamente por \scriptstyle M_1, M_2, M_3, \dots
Si \scriptstyle \mathcal{C} representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta \scriptstyle \overline{AM} tendrá como coeficiente director (o pendiente):
\frac {f(x) - f(a)} {x - a}
Donde \scriptstyle (a,f(a)) son las coordenadas del punto \scriptstyle A y \scriptstyle (x,f(x)) las del punto \scriptstyle M. Por lo tanto, la pendiente de la tangente TAserá:
\lim_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)} {x - a}
Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es \scriptstyle T_A:
y = f'(a)\cdot(x-a) + f(a)
La recta ortogonal a la tangente \scriptstyle \overline{AM} que pasa por el punto \scriptstyle (a,f(a)) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por  \frac {-1} {f'(a)}. Siendo su ecuación:
y = -\frac{x-a}{f'(a)} + f(a)
suponiendo claro está que \scriptstyle f'(a) \ne 0. Si \scriptstyle f'(a) = 0 entonces la recta normal es simplemente \scriptstyle x = a. Esta recta no interviene en el.
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5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DE VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL

 La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.   
§         
La ecuación de la recta tangente a  una función en el punto  A( a , f ( a ) )  viene dada por la expresión:   y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x – a ]
§         
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
§         
Si en un punto de la gráfica de una función se produce un cambio brusco de dirección ( “un pico” o “punto anguloso”), la función no es derivable en dicho punto.

TEOREMA DE ROLLE            
Si  f  es una función continua en  [ a , b ], derivable en  ( a , b )  y además  f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que  f ’ ( c ) = 0.
    
Interpretación geométrica
          
Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que su recta tangente es paralela al eje de abscisas (es decir, es la recta  y = f ( c ) ).


TEOREMA DEL VALOR MEDIO ( TEOREMA DE LAGRANGE)            
Si  f  es una función continua en  [ a , b ]  y  derivable en  ( a , b ), entonces existe al menos un punto  cÎ(a,b)  en el que  f ’ (c) = [ f ( b ) – f ( a ) ] / ( b – a ).
        Interpretación geométrica          
Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que su recta tangente es paralela al segmento determinado por los puntos  A( a , f ( a ) )  y  B( b , f ( b ) )

TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO (TEOREMA DE CAUCHY)            
Si  f  y  g  son dos funciones continuas en  [ a , b ]  y  derivables en   ( a , b ),   entonces  existe  al  menos  un   punto  c Î ( a , b )  en el que se verifica:   f ’ ( c ) [ g ( b ) – g ( a ) ] = g ’ ( c ) [ f ( b ) – f ( a ) ].
          Es inmediato comprobar que el teorema del valor medio es un caso particular del teorema del valor medio generalizado. Para ello, basta tomar la función  g ( x ) = x.

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5.3 FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE. MACIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
criterio de la primera derivada para máximos y mínimos

1.- se deriva la funcion f(x) para obtener f'(x) ecuación de la pendiente de una tangente =1.

2.- se iguala a cero.

3.- encontrar los valores críticos.

4.- determinación de los máximos y mínimos a partir de los valores críticos y la derivada.

5.- encontrar las coordenadas de los máximos y mínimos.

criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos

1.- se deriva la función.

2.- se iguala a cero.

3.- se obtienen los valores críticos.

4.- se obtiene la segunda derivada f``(x).

5.- se sustituyen los valores críticos de la segunda derivada si la segunda derivada tiene signo negativo(-) se tiene un punto máximo si la segunda derivada tiene signo (+) se tiene un punto mínimo.

la segunda derivada nos sirve para encontrar el punto o los puntos de inflexión.

si la segunda derivada es (-) la concavidad es hacia abajo.
si la segunda derivada es (+) la concavidad es hacia arriba.
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5.4 ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNCIONES
en función de variación acotada, también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total está limitado (finito): la gráfica de una función con esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso. Para una función continua de una sola variable, por ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección de la y Ejes, dejando de lado la contribución del movimiento a lo largo de x Ejes, que recorre un punto movimiento a lo largo de la gráfica tiene un valor finito. Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es la misma, excepto por el hecho de que la trayectoria continua que se considera que no puede ser todo el gráfico de la función dada (que es un hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección de la propia gráfica con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, una plano) paralelo a un fijo xEjes y al y Ejes.
Funciones de variación acotada son precisamente aquellos respecto de los cuales uno puede encontrar en las integrales de Riemann-Stieltjes todas las funciones continuas.
Otra caracterización de los estados que las funciones de variación acotada tienen es que encuentran que en un intervalo cerrado son exactamente los f que se puede escribir como una diferencia g − h, donde ambos g y h están limitados monótono.
En el caso de varias variables, en función f definido en un subconjunto abierto Q de Rn se dice que la variación acotada si su de distribución de derivados es un recurso finito del vector.
Uno de los aspectos más importantes de las funciones de variación acotada es que forman una álgebra de funciones discontinuas cuya primera derivada existe casi en todas partes: debido a este hecho, se puede y con frecuencia se utilizan para definir soluciones generalizadas de problemas no lineales implican funcionales, ordinaria y ecuaciones diferenciales parciales en las matemáticas, la física y de ingeniería. Teniendo en cuenta el problema de la multiplicación de las distribuciones o más en general el problema de la definición general de las operaciones no lineales en funciones generalizadas, función de variación acotada son los más pequeños y en la álgebra tiene que estar integrada en todos los espacios de funciones generalizadas preservar el resultado de multiplicación.

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5.5 CALCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIAL
Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función   y   con respecto a   x,   la notación de Leibnitz, dx/dy, como un símbolo y no como el cociente del símbolo  dy   (diferencial de a variable   y)   entre   dx   (diferencial de la variable  x). Se define en esta sección el concepto de la  diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor  aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. 
La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. 
Sea   P(x0, y0)   un punto fijo sobre la gráfica de   y = f (x)   (fig.  (a)).
Tomando el punto   P(x0, y0)   como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas 
cuyos ejes   dx   y   dy son paralelos a los ejes antiguos. 
En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto   P   pasa por el origen 
y en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber:   dy = mdx,   donde   m      es  la
pendiente.  Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antíguo, 
esto es   m = f ’(x),   se tiene entonces: 
                                                                dy = f ’(x) dx  
Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial. 

Definición: 
i. Se llama diferencial de la variable independiente    x,   denotada por    dx,   al 
incremento    ∆ x ;   esto es    dx = ∆ x . 
ii. Si   y = f (x)   es una función derivable de   x,   la diferencial de   y  en el punto   x,   
denotada   dy,   se define como    dy = f ' ( x ) ∆ x ,   o también, 
dy = f ' ( x ) dx . Interpretación geométrica de la diferencial
Sea   f   una función derivable en   x.   En el triángulo   P0RQ,   se tiene:    RQ = m.∆x ,   
en donde   m   es la pendiente de la recta tangente a la curva en   P0   (fig.  (b)), y por tanto, 
m = f ’(x0). 
Así que:    RQ = f ' ( x )∆ x = dy
0
               Además,     ( ) ( ) 0 0
∆ y = f x + ∆ x − f x       (2) 
Se puede observar entonces que: 
∆ y :   es el incremento en   y   medido sobre la curva;   y, 
dy   :   es el incremento en   y   medido sobre la recta tangente

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5.6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y DE TASAS RELACIONADAS

La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea. Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función. Estos incluyen encontrar la distancia mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc. La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.
Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrar los valores mínimos o máximos locales. Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo. Es decir, la optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local. El mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente.
Puede haber casos, donde el mínimo o máximo global no existe para una función. En estos el dibujo de la gráfica para la función correspondiente puede ayudar en gran manera.

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UNIDAD 4: DERIVADAS

4.1 CONCEPTOS DE INCREMENTO Y DE RAZON DE CAMBIO. LA DERIVADA DE UNA FUNCION

Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto “a” como:
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:
En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:
Función derivada. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:

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4.2 LA INTERPRETACION  GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA


Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
Interpretación gráfica
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)
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4.3.CONCEPTO DE DIFERENCIAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DIFERENCIALES

La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.


El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.
Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento  \Delta x \, que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por x \, y \Delta x \,.

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4.4 PROPIEDADES DE LA DERIVADA



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4.5 REGLA DE LA CADENA
La regla de la cadena es la fórmula resultante de la derivada de la composición de funciones.

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

                                             

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

                                           

entonces la función compuesta

                                     

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

                                     

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4.6 FORMULAS DE  DERIVACION Y FORMULAS DE DIFERENCIACION

Formulas de Derivación
I dc     = 0
La derivada de una constante es cero
II   dx = 1
La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.
III d       ( u + v – w ) = du + dv   - dw
                                        La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones 
IV   d   ( cv ) =c. dv
                La derivada del producto de una constante por una funcion es igual al producto de la constante por la derivada de la funcion
V d (uv) = u dv + v   du
                        
La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de la primera funcion por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera.
VI d   (un) = nun-1 du
                    
La derivada de la potencia de una funcion de exponente constante es igual al producto del exponente por la funcion elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la funcion.
VIa d   (xn ) = nxn - 1
Cuando   v = x se convierte en la expresion anterior
VII d   ( uv )   = v.du     - u.dv.
                                v2 La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador
VIIa   d   ( u/c )   = du/ c
La derivada del cociente de una funcion dividida por una constante es igual a la derivada de la funcion dividida por la constante


'Fórmulas de Integración y Diferenciación'


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4.7 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y REGLA L'HOPITAL 

La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,
La derivada de segundo orden de una función se representa como,
La derivada de tercer orden de una función se representa como,
Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.
La derivada de segundo orden de una función f(x), que es todavía más diferenciable,
No es posible obtener una derivada de orden superior de la función si la derivada actual de la función no es diferenciable. Para aclarar el concepto de las derivadas de orden superior eche un vistazo al ejemplo citado a continuación. f(x) = 4×3 + 9×2 – 3x + 4 La derivada de primer orden de esta función será,
f’(x) = 12×2 +18x – 3
Por la derivada anterior ser diferenciable es posible al diferenciarla nuevamente obtener la derivada de segundo orden de la función como, f’’(x) = f’(f’(x)) = 24x + 18
Al analizar la derivada de la función anterior se puede ver que esta puede ser aún más diferenciada. Por lo tanto la derivada de tercer orden de la función será,
f’’’(x) = f‘(f’(f’(x))) = 24
Ahora la derivada de cuarto orden de la función se obtiene,
f’’’(x) = f’(f‘(f’(f’(x)))) = 0
Como se puede observar ya no es posible diferenciar la función por más tiempo, por lo tanto detenemos el proceso de diferenciación aquí.
El ejemplo anterior también arroja luz sobre un hecho muy interesante, que es, si f(x) es un polinomio con n como el más alto grado entonces la derivada de mayor orden de tal función será n +1. Una diferencia muy interesante y diminuta entre la notación convencional de la potenciación y la diferenciación se explica más adelante,
f(2)(x)= f’’(x) f2(x) = [f(x)]2
Esta es, la presencia de paréntesis en el exponente denota una operación de diferenciación, mientras que su presencia en sí denota la operación de exponenciación.
La regla de L’Hôspital, también llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del cálculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los límites cuando los límites son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.
Esta regla se utiliza para transformar los límites intermedios en una forma determinada y por tanto, obtener la salida más conveniente.
La definición formal de L’Hôspital es, existen dos funciones f(x) y g(x). Ahora bien, si 
  , además
 es real, entonces de acuerdo a la regla del L’Hôspital,

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 http://mitecnologico.com/igestion/Main/DerivadasDeOrdenSuperiorYReglaLHopital

4.8 DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS




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