Calculo Diferencial: UNIDAD 3: LIMITES Y CONTINUIDAD

3.1 LIMITE DE UNA SUCESION

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

Esta información es gracias al sitio:

http://darkcity2111.wordpress.com/limites-de-sucesion/

3.2 LIMITE DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

f:D————->R

x————->x2.

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

1. El conjunto inicial o dominio de la función.

2. El conjunto final o imagen de la función.

3. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

f:R ——–>R

x———>x2.

asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

lim(f)=R+.

La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.

Esta información es gracias al sitio:

http://darkcity2111.wordpress.com/3-2-limite-de-una-funcion-de-variable-real/

3.3 CALCULO DE LÍMITES

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular

porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Esta información es gracias al sitio:

http://darkcity2111.wordpress.com/3-3-calculo-de-limites/

3.4 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).

lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f ^g , en el punto x = a, es l ^m.

lim (f(x))^g(x) = lim (f(x))^{lim g(x)}

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.

Esta información es gracias al sitio:

https://alexisobed.wordpress.com/3-4-propiedades-de-los-limites/

3.5 LIMITES LATERALES

Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera

x ® a^- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.

x ® a⁺ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

Límite lateral por izquierda

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a - d < x < a Þ

Límite lateral por derecha

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a < x < a + d Þ

Observación. Una función tiene límite si los límites laterales son iguales, es decir, cuando

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http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/2.2%20L%EDmiteslaterales.htm

3.6 LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO

||LIMITES INFINITOS||

Decimos que lim f(x)= $\infty$ si para los valores de x proximos a a, x→ a los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.

Con rigor, decimos que lim f(x)= $\infty$ si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.

Análogamente, lim f(x) = – $\infty$
x→a

si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.

Diremos que lim f(x) = – $\infty$
x→a

si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces f(x) < -k

•Ejemplo:

la función f(x)= 1/|x|

En el punto x=0 se tiene:

lim 1/|x| = – $\infty$
x→ 0-
→ lim 1/|x| = $\infty$ x→0

lim 1/|x| = $\infty$
x→a’

||LIMITES AL INFINITO||

cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:

• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.
x→ $\infty$

•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L. x→ $\infty$

Esta información es gracias al sitio:

https://calculolimitesycontinuidad.wordpress.com/limites-infinitos-limites-al-infinito/

3.7 ASINTOTAS

Dado un punto en el plano de coordenadas (x,y), su distancia al origen de coordenadas viene dado, sin más que aplicar el teorema de Pitágoras, por

Si x o y o ambos a la vez se hacen muy grandes, el número

se hace también muy grande. Dicho en términos más precisos, si x o y o ambos tienden a infinito,

tiende a infinito, lo cual indica que la distancia de dicho punto al origen de coordenadas se hace infinito.

Definición:

Una curva tiene como asíntota una recta, si la distancia de un punto P de la curva a la recta tiende a cero cuando el punto P se aleja indefinidamente del origen de coordenadas recorriendo la curva. En otros términos, puede decirse que una asíntota es una tangente a la curva en el infinito.

Asíntotas paralelas al eje Y o verticales

· Determinación de asíntotas paralelas al eje Y

Se determinan igualando el denominador de la función a cero y resolviendo la ecuación.

Si la función no viene expresada mediante una fracción, hay que estudiar cuándo

Asíntotas paralelas al eje X u horizontales

Asíntotas generales u oblicuas

Son aquellas asíntotas que no son paralelas a ninguno de los ejes.

Aunque no se justificará el cálculo, la ecuación de una asíntota oblicua se obtiene como sigue:

Si la ecuación de una asíntota oblicua es y = mx + b,

Si m = 0, la asíntota resulta ser una asíntota horizontal.

Esta informacion es gracias al sitio:

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/asintotas.htm#

3.8 FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO

Continuidades

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

as1dda

Discontinuidades

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en elmismo.El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable.

Esta información es gracias al sitio:

http://darkcity2111.wordpress.com/3-8-funciones-continuas-y-descontinuas-en-un-punto-y-en-un-intervalo/

3.9 TIPOS DE DISCONTINUIDADES

Discontinuidad evitable

Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

o no existe:

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:

Discontinuidad esencial o no evitable

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

Existen los límites laterales pero no coinciden.

Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.

No existe alguno de los límites laterales o ambos.

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

- DE SALTO FINITO

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:De salto infinitoSi uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

DISCONTINUIDAD ASINTÓTICA

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

Discontinuidad de segunda especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

Esta información es gracias al sitio:

http://darkcity2111.wordpress.com/3-9-tipos-de-discontinuidad/

Calculo Diferencial

domingo, 30 de noviembre de 2014